Gottlob Frege y el proyecto logicista: un fracaso exitoso

“Todo buen matemático es, al menos, la mitad de un filósofo, y todo buen filósofo es, al menos, la mitad de un matemático”

 - Gottlob Frege

El siglo XIX fue filosóficamente fructífero: Hegel llevó el idealismo alemán a su máxima expresión; Schopenhauer se convirtió en el filósofo romántico por excelencia; Feuerbach hizo una crítica demoledora, y atea, a la religión; Karl Marx desarrolló una filosofía revolucionaria que puso de manifiesto que el mundo estaba dividido en dos; Nietzsche quiso él mismo dividir el mundo en dos y se convirtió en el filósofo favorito de mucha gente; etc. Pero la historia no trató a todos los pensadores decimonónicos igual de bien. Este fue el caso de Gottlob Frege, quien se embarcó en uno de los proyectos más ambiciosos de la historia de la filosofía: la reducción de toda la matemática a la lógica. Se trataba del proyecto logicista, propuesto inicialmente por Gottfried W. Leibniz.

El programa logicista de Frege

Aunque el logicismo, la tesis de que toda la matemática puede ser reducida a la lógica, fue propuesto por Leibniz en el siglo XVII, sería Frege el primero en trabajar seriamente en este proyecto.

Antes de continuar tenemos que decir que nuestro autor fracasó en su intento. Sin embargo, si bien no tuvo éxito con su proyecto, consiguió abrir nuevos caminos tanto en lógica, como en filosofía y matemáticas. Tanto es así, que Frege ha sido comparado frecuentemente con Cristóbal Colón. En efecto, del mismo modo que el geógrafo genovés probó una nueva ruta para llegar a las Indias y se topó con un nuevo continente por el camino, el filósofo de Wismar (Frege nació en Wismar, Alemania) no logró su objetivo, sin embargo, su trabajo supuso un desarrollo para la lógica cuyo único precedente en la historia es Aristóteles, padre de esta ciencia.

Dicho lo anterior, continuamos. Frege consagró su tarea a demostrar la tesis logicista. Para él no solo era posible convertir en lógica toda la matemática (o partes importantes de esta ciencia), sino también era necesario hacerlo para salvaguardar todo paso que diéramos en nuestro conocimiento científico. La idea era la siguiente: la lógica se ocupa de analizar pensamientos, de cómo estos se encadenan para llegar a conclusiones. Por otra parte, el pensamiento es común a todas las disciplinas científicas, incluida la matemática, por ello, a la hora de proporcionarle fundamentos sólidos a nuestro conocimiento hemos de mirar hacia la lógica. Y en la medida en que la matemática es una de las ciencias fundamentales en otras ciencias, basar esta disciplina en la lógica se convierte en una tarea urgente.

Y así, con este punto de vista, Frege comenzó a trabajar en el proyecto logicista. Su programa estaba bien delimitado. El primer paso, consistió en crear un sistema lógico, un lenguaje de fórmulas que permitiera la transmisión del pensamiento puro. Este sistema apareció en la Conceptografía, libro publicado en 1879. Se trataba del primer sistema de lógica de predicados de la historia completamente formalizado. Un lenguaje de fórmulas capaz de transmitir únicamente el contenido conceptual de los enunciados, eliminando todos los componentes de estos que pudieran ser ambiguos. Se trataba de una obra de carácter puramente matemático.

Para nuestro filósofo este paso era imprescindible, dada la exigencia de claridad y de rigor de la tarea. De hecho, este era el paso fundamental, el que permitiría reducir a la lógica cada una de las principales disciplinas matemáticas (la aritmética en primer lugar y después la geometría, el álgebra, etc.). Así que con su lenguaje de fórmulas comenzó a trabajar en la aritmética. Precisamente, sería durante el transcurso de esta tarea cuando el proyecto de Frege sufrió un duro revés.

Una bomba de relojería: el principio de abstracción

Frege no era el único matemático y filósofo que trabajaba en el proyecto logicista. En efecto, en Gran Bretaña Bertrand Russell y Alfred N. Whitehead estaban embarcados en la misma tarea. Russell supo de Frege y enseguida se quedó maravillado con su obra. De este modo, ambos autores mantuvieron una cordial correspondencia. Sin embargo, esta correspondencia sería demoledora para el programa de Frege.

En 1902 Frege finalizó el segundo volumen de Las leyes fundamentales de la aritmética. Con esta obra pensaba nuestro autor que la tesis logicista quedaba probada. Al año siguiente Bertrand Russell recibía una copia de la obra, enviada por el propio Frege.

El filósofo británico descubrió en la obra de Frege una paradoja con la capacidad de destruir todo el proyecto del segundo. Dicha paradoja, conocida como Paradoja de Russell, estaba en el axioma V del libro. Frege había asumido una versión del principio de abstracción, el cual hoy se sabe que es falso. Según este principio, todo predicado define un conjunto. Por ejemplo, “ser de oro” define el conjunto de todas las cosas que son de este metal. Es un principio que, a primera vista, parece incuestionable. Sin embargo, por aquella época Russell ya era un viejo zorro, así que lo puso en cuestión. El filósofo británico dio con un predicado que no definía conjunto alguno, so pena de contradicción.

Russell comenzó con una distinción entre conjuntos. Había conjuntos normales, esto es, que no se pertenecen a sí mismos, y conjuntos anormales, los que se pertenecen a sí mismos. Dado que no pertenecerse a sí mismo es un predicado de conjuntos, según el principio de abstracción, Russell supuso que debía definir un conjunto, a saber, el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, o sea, el conjunto de todos los conjuntos normales (lo llamaremos A). Ahora bien, de este conjunto cabe preguntarse si es normal o anormal.

Si el conjunto A es normal, entonces, razonaba Russell, no se pertenece a sí mismo, pero dado que A es el conjunto de los conjuntos normales, los que no se pertenecen a sí mismos, entonces debe pertenecer a A. En otras palabras, si A no se pertenece a sí mismo, entonces se pertenece a sí mismo. Esto es una contradicción obvia.

Bien, Si A no es normal, entonces es anormal. Ahora bien, los conjuntos anormales son los que se pertenecen a sí mismos, así que A pertenece al conjunto A. Pero esto tampoco puede ser el caso, pues por definición los elementos del conjunto A son todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos y solo estos. Así que si A se pertenece a sí mismo, entonces no se pertenece a sí mismo.

Cualquiera de los cuernos del dilema llevaba a una contradicción, así que el principio de abstracción sobre el que se apoyaba el intento de Frege de reducir la matemática a lógica, era falso.

Russell informó a Frege de su fracaso por carta. Como el texto todavía estaba en la imprenta, incluyó un apéndice en el que trataba de solucionar la paradoja, pero se apoyaba en hipótesis ad hoc, así que nada pudo solucionar. Frege había fracasado.

El exitoso fracaso de Frege

El programa logicista de Frege resultó ser un fracaso. Sin embargo, tuvo las consecuencias de uno de los grandes logros de la historia, porque, de hecho, lo fue. A pesar de que nuestro autor pasó prácticamente desapercibido para sus contemporáneos y durante toda la primera mitad del siglo XX (se dice que solo siete u ocho filósofos de primera categoría conocían la obra de Frege), sus logros son hoy en día reconocidos.

Gottlob Frege le dio a la lógica el empujón que en 2.500 años nunca había recibido. Pero no solo eso, también marcó la agenda de buena parte de la filosofía posterior, siendo uno de los padres de la Filosofía del lenguaje, una de las disciplinas filosóficas más fructíferas del siglo XX, y de la filosofía analítica, uno de los movimientos filosóficos más importantes del siglo XX. Asimismo, en Filosofía de la matemática se convirtió en el autor más relevante de todos los tiempos, hasta tal punto que todo el trabajo anterior a su obra es considerado infantil y trivial y todo el que se ha realizado con posterioridad no puede avanzar sin su permiso.

Desde este punto de vista, podemos decir que el proyecto logicista de Frege fue un fracaso exitoso.

Bibliografía

Esteban Galisteo Gámez (2012a), “La paradoja de Russell”, en www.filosofia.laguia2000.com/la-paradoja-de-russell [consultado el 23/06/2014]

Esteban Galisteo Gámez (2012b), “Gottlob Frege”, en http://filosofia.laguia2000.com/grandes-filosofos/gottlob-frege [consultado el 23/06/2014]

Esteban Galisteo Gámez (2012c), “El logicismo”, en http://filosofia.laguia2000.com/filosofia-contemporanea/el-logicismo [consultado el 23/06/2014]

Esteban Galisteo Gámez (2013), “Concepto de número de Gottlob Frege”, en http://filosofia.laguia2000.com/filosofia-contemporanea/concepto-de-numero-de-gottlob-frege [consultado el 23/06/2014]

La cita la he obtenido de: http://es.wikiquote.org/wiki/Gottlob_Frege [consultado el 23/06/2014]